线性变换

Linear Transformation
描述了向量空间之间的一种特殊类型的函数关系。线性变换保持了向量加法和标量乘法的结构，是数学和工程学中一个非常强大的工具，它提供了一种统一的框架来分析和理解各种线性系统的行为。

通过矩阵表示，可以方便地进行计算和理论分析。不仅在理论数学中有其基础地位，在实际应用中也极为广泛和重要。

$V_{n}, U_{m}$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间， $T$ 是 $V_{n}$ 到 $U_{m}$ 的映射，如果满足：

就称为线性映射（即保持线性组合的映射）

更进一步，如果 $U_{m} = V_{n}$ ，则 $T$ 是从线性空间 $V_{n}$ 到其自身的线性映射，称为线性变换

\begin{array}{r} T 0 T (- α) = - T (α) \end{array}

\begin{array}{r} β = k_{1} α_{1} + \dots + k_{m} α_{m} T β = k_{1} T α_{1} + \dots + k_{m} T α_{m} \end{array}

若 $α_{1}, \dots, α_{n}$ 线性相关，则若 $T α_{1}, \dots, T α_{n}$ 线性相关

线性变换 $T$ 的像集 $T (V_{n})$ 是一个线性空间，称为线性变换的像空间

使 $T α = 0$ 的 $α$ 全体也是一个线性空间，称为线性变换的核

\begin{array}{r} N_{T} = {α | α \in V_{n}, T α = 0} \end{array}

\begin{aligned} o {α_{1} f_{1} (t) + α_{2} f_{2} (t)} & = α_{1} x_{1} (t) + α_{2} x_{2} (t) \end{aligned}